三角形的分类试题,培养学生分类思维练习案例——直线移动点

数学题，尤其是动点题，对于初来乍到的学生来说总是比较难的，尤其是在八年级学习全等三角形之后，开始大量出现。学习几何知识，断章取义是最忌讳的，尤其是在识别图片的时候。在给定的图中，移动点只是某种情况，而不是全部。如果主观上没有进一步的理解，几乎难免思维不完整。

标题

在△ABC中三角形的分类试题，AB=AC，D是直线BC上的一点，以AD为边做△ADE在AD的右边，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE .

(1)如图1所示，当D点在BC延长线上移动时，若∠BAC=25°，则∠CDE=;

(2)令∠BAC=α，∠DCE=β.

①当D点在BC的延长线上移动时，α和β之间的数量关系是什么？请解释原因；

②当D点在直线BC上移动时（与B、C两点不重合），α和β之间的定量关系是什么？请直接写出你的结论。

分析：

(1)找出图中所有能找到的角，只有这样才能解决问题。有两个等腰三角形，顶角相等，所以在两个等腰三角形中都是角是可用的，此时不应过早引入类似的概念。

然后同学们遇到了困难，只是计算角度，没有观察图中存在的同余关系，当然解决不了。几分钟后，几个学生想到了观察全等三角形，突破口一下子打开了。 △ABD≌△ACE是关键节点。

过程如下：∵∠BAC=∠DAE

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD

∴∠BAD=∠CAE

还有∵AB=AC，AD=AE

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴∠ABD=∠ACE

∵∠ACD=∠ABC+∠BAC

∴∠ACE+∠DCE=∠ABC+∠BAC

∴∠DCE=∠BAC=25°

(2)把上一个子问题中的度数改为字母α和β，基本思路没变，仍然需要全等三角形对。这时候方法开始展示多元化。刚才填空的时候，已经有很多解决方案了。

①方案一：与(1)中的证明过程完全相同，只是不再需要25°的条件；

解法2：利用图中的一对8字三角形，在△AEF和△DFC中，一对对角相等，另一个对角∠ADB=∠AEF（全等可得） , 所以剩下的下一条对角线∠DAE=∠DCE=α;

2 仔细阅读句子“D点在直线BC上”，然后观察图形，发现我们刚才讨论的结果只是其中一种情况，即在BC的延长线上，还剩下什么情况？毛呢布？二、在线段BC上和延长线CB上。

事实点B和C点将整条直线BC分为“左、中、右”三部分，即BC的左侧、BC的中间、BC的右侧。下面两种情况分别画出来：

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当D点在线段BC上时

首先要考虑的是，△ABD 和△ACE 还全等吗？答案是肯定的。在此基础上，我们进一步讨论α和β之间的关系。显然，此时β变成了钝角三角形的分类试题，由∠ACD和∠ACE组成，分别是两个等腰三角形的底角。 ，且相等，故β和α之和为180°，过程如下：

∵△ABD≌△ACE

∴∠ABD=∠ACE

∵β=∠ACD+∠ACE

∴β=∠ACD+∠ABD=180°-α

∴α+β=180°

当D点在CB延长线上时

△ABD与△ACE仍然全等，但此时β变回锐角，利用外角关系也可以得到它与α的关系。流程如下：

∵△ABD≌△ACE

∴∠ABD=∠ACE

∵β=∠ACE-∠ACB

∴β=∠ABD-∠ACB=∠BAC=α

∴α=β

因此，α=β 或 α+β=180°。

对解决问题的反思：

当我第一次接触移动点的问题时，老师需要引导学生多角度思考。直线、等腰三角形等一些概念，教科书中的图例不能只有一种形状。当我们说点在一条直线上的时候，我们不妨多画一些让学生认识几个点。避免在直线上画点，始终画在“中间”。绘制三角形时，不要将自己局限于锐角三角形。有时您需要绘制钝角三角形。通常这样的训练，学生们自然会明白怎么画，有多种选择。

其实很多时候，学生思维的局限是受到老师的影响，课堂偷来的懒惰会被学生加倍回馈。八年级一开始探索点题，就渗透了分类的思想，九年级面对综合题的时候，不容易漏题。

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